La convergencia es un concepto fundamental en matemáticas y ciencias de la computación. Se refiere a la idea de que una secuencia de números, funciones o variables se acerca cada vez más a un valor fijo a medida que se avanza en la secuencia.
¿Qué es la convergencia?
Para comprender la convergencia, es necesario tener una idea de lo que es una secuencia. Una secuencia es una lista ordenada de números o funciones. Por ejemplo, la siguiente lista de números es una secuencia:
1, 2, 3, 4, 5, …
La convergencia se refiere a la idea de que una secuencia se acerca cada vez más a un valor fijo a medida que se avanza en la secuencia. Por ejemplo, la siguiente secuencia de números se acerca cada vez más a cero:
1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, …
En este caso, la secuencia converge a cero.
Criterios de convergencia
Existen varios criterios que se pueden utilizar para determinar si una secuencia converge o no. Uno de los criterios más comunes es el criterio de Cauchy, que establece que una secuencia converge si y solo si para cualquier número ε mayor que cero, existe un número N tal que si n y m son mayores que N, entonces |a_n – a_m| < ε. En otras palabras, la distancia entre cualquier par de términos de la secuencia debe ser menor que ε.
Ejemplos de convergencia
Veamos algunos ejemplos de secuencias que convergen:
- La secuencia 1/n, donde n es un número entero positivo, converge a cero.
- La secuencia (n+1)/n, donde n es un número entero positivo, converge a 1.
- La secuencia (-1)^n/n, donde n es un número entero positivo, converge a cero.
Ejemplos de divergencia
Por otro lado, existen secuencias que no convergen. Estas secuencias se dicen que divergen. Veamos algunos ejemplos:
- La secuencia (-1)^n, donde n es un número entero positivo, no converge. En este caso, los términos de la secuencia alternan entre 1 y -1, por lo que no se acercan a ningún valor fijo.
- La secuencia n, donde n es un número entero positivo, no converge. En este caso, la secuencia crece sin límite a medida que n se hace más grande.
Conclusiones
La convergencia es un concepto fundamental en matemáticas y ciencias de la computación. Permite determinar si una secuencia de números, funciones o variables se acerca cada vez más a un valor fijo a medida que se avanza en la secuencia. Existen varios criterios para determinar si una secuencia converge o no, tales como el criterio de Cauchy. Además, existen secuencias que divergen, es decir, que no convergen a ningún valor fijo.